前言

折纸艺术起源于中国南北朝时期，发展于日本，传至欧美，普及世界。一千五百多年以来，现代折纸艺术已发展到前所未有的境界。一张再普通不过的纸，可以被折出许多复杂而栩栩如生的精美艺术品。或许许多人小时候也都折过很多有趣的小玩物，但人们却很少去思考折纸在艺术审美和娱乐价值以外是否还有其他的意义。近年来，折纸从手工艺术进入全新的研究领域，其背后蕴藏的数学运算和空间几何原理在不断被发掘，并且与物理、结构、材料等交叉学科的理论知识相结合，从而逐步应用于生物医药、土木工程、航空航天等诸多前沿科技领域。折纸是通过设计平面材料的折痕并通过折叠来获得提前构想的复杂的三维结构，而最终形成的结构和其物理性能也主要取决于其折叠方法。因此对折痕设计和折叠轨迹的系统化理论研究对于实现折纸结构的可编程设计与精准调控至关重要。本期我们有幸请到了冯帆学长分享他在这个关键领域的研究心得。以第一人称的视角回顾学长是如何在一个大多数人追求应用的领域，逐步探索并建立起折纸结构背后的理论框架，为实现折纸在未来更广泛的应用打下坚实的基础。希望能勉励和启发各领域的学生、学者们。

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科研成果和想法

Q：冯帆博士在剑桥大学当博后期间研究的主要课题是什么？

我现在在剑桥大学Warner和Biggins教授研究组，主要对折纸结构（Origami Structure）和液晶弹性体（Liquid Crystal Elastomers）相结合的理论进行研究。在去年发表的这篇文章中，我们主要通过连续介质力学和群论研究了一般的刚性可折平的四边形网格折纸结构全部可能的折痕设计和折叠轨迹。以此提出一个定理，使我们可以提前通过算法设计出特定的折痕，通过折叠（保长的分段仿射变换，isometric piecewise affine transformation）可以得到任何想要的三维结构[1]。这种折纸结构可以在二维平面上设计折痕和制造，折叠到三维特定形状，并且可以继续折叠到面积较小易于收纳的完全折叠态。这种性质在某些应用中非常重要，比如太阳能帆板需要处于面积较小的完全折叠态放入火箭，在太空中展开成为面积较大的状态接收太阳能。

同时，目前我正在研究将该结果和液晶弹性体（LCEs）相结合，得到更复杂的折纸结构。LCEs在外界热或者光照条件下可以发生非保长（non-isometric）的大变形，因此这种材料做的折纸结构可以在外界刺激下发生特定变形从而完成某些功能。

Q: 类似的想法可能别人也有，为什么学长是第一个做出来的？

因为我们研究该问题的角度与其他研究组非常不一样，我们是通过连续介质力学对所有可能的折叠情况进行研究，得到完备的理论框架，可能全世界只有我们是按照这个思路来进行研究的。世界上做折纸结构的人很多，不仅仅在学术界，在艺术界也有很多人可以通过自身经验或者优化算法来设计出折痕，并折出复杂的三维结构。目前，大多数的研究组也是采用类似的方法。每次只研究某一个特定折纸结构的折痕设计，例如对称性结构，或者通过需要很多计算资源的全局优化算法进行设计。这从研究的角度来看是相对比较直接和粗暴的。而我们的想法是把折纸结构的设计研究纳入到某一个理论框架下面，从而系统性的研究所有的折纸结构，而不是研究某一个特例或者需要很多计算资源的算法。我们希望在未来把折纸结构的设计一般化，根据不同的应用需求，可以设计折痕并折叠出任何的三维结构。

Q: 基于学长的工作，其他人可以有哪些进展？

我们同合作者在后续工作中提出了一种高效且应用范围广泛的反向工程的设计框架[2]。别人可以事先设计好想要得到的具有不同曲率的三维曲面形状，例如应用在太空可折叠天线里的球形结构，然后通过我们的设计框架，计算并设计出所需要的折痕图案和每个折痕需要折叠的角度，从而可以在空间中折叠出最初设想的结构。这个方法可以被运用在许多不同领域的研究中，并且实现一些实际的应用，比如太空天线、折纸机器人等。该框架还可以和其他的物理性质相结合，例如弹性和热传导等，设计几何形状之外的特定功能。

Q: 学长最初开始研究折纸结构的设计时的思路是如何产生的？

其实在刚开始设计折纸结构的时候，我们研究组是从材料学里获得了一些灵感。在材料学中，有些结构在一定程度上拥有对称性，例如晶体结构一般都具有三维的平移对称性，碳纳米管大多会有螺旋对称性，以及准晶在更高维度具有平移对称性等。在研究中，我们把这些在材料结构中出现的对称性总结和归纳成一些对称群。之后在设计折纸时，我们把某个对称群作用到一个单独的图案上，从而设计出一个和材料结构拥有相同对称性的折纸结构[3]。比如在之前的一个研究里，利用这个思路，我将碳纳米管中的对称群应用到了折纸设计里，创新性的设计出了一个具有螺旋对称性的折纸结构[4]。另外破坏和推广对称性也会得到更一般的结构，比如上文提到的刚性可折平的四边形网格折纸结构就是由具有二维平移对称性的著名的Miura折纸结构推广而来。

Q: 学长为什么坚持做折纸结构的基础理论研究，而不是它的应用？

无论是做一些应用方面的工作，还是做一些难度大、耗时长的基础研究，都可以是有意义的工作。我认为有意义的工作可以是得出一个普适且简洁的理论，也可以是一个能解决现实难题的方案。我认为最好的工作应当是可以开创或终结某个小领域，或者可以直接提高生产力的工作。至于选择做哪个方面，这要基于自己本身的研究风格和兴趣并结合自己具体想要了解的问题来决定。

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科研生涯心得体会

Q: 学长可以横跨流体力学-固体力学-折纸结构这么多领域，你自身有什么优势吗？

寻找新的科研方向的时候，我认为要找到与自己之前所做过的研究之间的共性和结合点，最好不要盲目的进入一个陌生的领域。要从自己现有的科研经历和知识体系出发，逐渐延伸到其他相关联的方向。例如我自己比较擅长应用数学，我做过的研究也都是基于自身储备的与应用数学相关的知识，并运用到不同研究领域里自己能够解决一些有意义的问题。

Q: 学长是怎样喜欢上自己的科研方向？

做科研久了，会对自己的研究兴趣、风格和各方面能力都有更深入的了解，从而选择一个自己既感兴趣又可以做出成果的方向。只有在对研究领域足够热爱并且课题难度与自身能力相匹配的情况下，才可以长期的在这个领域钻研下去并对其始终保持热情。我个人对固体力学、材料科学和应用数学之间的交叉学科比较感兴趣。而我现在做的和液晶弹性体相关的折纸结构研究就是这样一个很好的交叉点，它既涉及到了液晶弹性体材料的热变形，又运用到了固体力学和应用数学中的一些原理，例如在研究LCE折纸结构的折痕和折叠过程时需要使用到的微分几何中的许多知识，这种结构也因为变形是非保长变换而产生非零高斯曲率，相应的力学性质也变得很有趣[5] [6]。我相当于是找到了一个可以同时包含三个我感兴趣的研究方向且自己又擅长的领域。

Q: 在学术生涯中有什么经历对你的影响很大？

在明尼苏达大学时期的博士导师对我的影响很大。导师总体来讲感兴趣的领域比较广泛，总是在不停地发现与探索新的问题，给学生的自由度也相对比较高。但与此同时，他也喜欢站在理论的角度来看待和解决一个问题，更愿意对其背后蕴藏的机理进行长期的研究。我自己建立的研究风格在很大程度上继承了导师的这种风格，长远来看是受益匪浅的。

Q: 学长认为不同风格的导师在对博士训练的结果上会有什么不同？

有一类的导师可能会对博士生的管理具体到怎么去完成某一个题目。在这样micromanage的导师手下，博士生涯整体来看会比较顺畅。导师根据自己多年的经验，引导学生开展设计好的实验，博士生不太需要做大的更改。我认为，在这一类导师的指导和管理之下，会比自己独立选实验方向更容易出成果，发paper也会更顺利一些，因此，博士毕业后在寻找教职，找工作会更有优势。在这类导师手下干活也有相应的弊端，即独立发现问题并解决问题的能力会相对欠缺。这样的实验完成了，发了很高水平的论文，这也只是导师水平的体现，博士生充其量是好的“实验技术人员”。如果最终选择走科研之路，就需要在之后做博后的期间补足相对的缺失的研究能力。

另一类的导师是指导风格比较开明的导师，可能会对自己的博士生进行相对‘’放羊式‘’管理，学生会有比较大的自主权，但是学生上手也会比较困难。这类导师允许博士生加入自己的思路，也会接受博士生的建议对研究思路进行必要的提高和修改。这样完成的实验，博士生参与实验设计的程度很高，博士生就得到了真正意义上的科研培训。

总之，导师的指导风格是很重要的。大家在读博前一定要根据自己的需求和自身能力找到最适合自己风格的导师。

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未来展望

Q: 畅想10年后，学长认为折纸结构领域会有哪些发展？

折纸结构的理论研究目前可能已经发展到了一个瓶颈期。大部分的研究已经转向到了折纸结构的应用方向并与其他领域结合，例如折纸机器人、超材料和医疗器械等。10年后的话，应该会出现很多关于折纸结构的实际应用，大到长度十几公里的大型空间可展开天线，小到几毫米大小的血管支架。利用折纸结构设计出来的的事物会越来越多的出现在我们的生活里。

Q: 学长未来的科研计划有哪些潜在的合作方向？

我对力学相关的问题都比较感兴趣。理论方面有包括非晶体系中的形状记忆效应，响应材料的非欧折纸，还有偏微分方程和对称性结合等问题，另外我对同做实验的同事合作很感兴趣。例如实验上可以利用折纸结构和新材料设计actuator，可折叠的具有特定曲面形状的天线，具有特定band gap的折纸超材料等。

欢迎对冯帆博士研究课题中涉及到的相关理论和实验感兴趣想要进一步了解或者合作的学生、学者积极联系。邮箱：ff342@cam.ac.uk

References：

[1] F.Feng, X. Dang, R. D. James, and P. Plucinsky, “The designs anddeformations of rigidly and flat-foldable quadrilateral mesh origami,” Journalof the Mechanics and Physics of Solids, p. 104018, 2020.

[2] X. Dang, F. Feng, P. Plucinsky, R. D. James, H. Duan, and J.Wang, “Inverse design of deployable origami structures that approximate ageneral surface,” arXiv: 2008.02349.

[3] H. Liu, P. Plucinsky, F. Feng, and R. D. James, “Origamiand materials science,” arXiv:2008.06026

[4] F. Feng, P. Plucinsky, and R. D. James, “Helical Miuraorigami,” Physical Review E, vol. 101, no. 3, p. 033002, 2020. 

[5] F. Feng, D. Duffy, J. Biggins, and M. Warner,”Concentrated Gaussian curvature in curved creases of actuated spiralnematic solids,” arXiv:2102.04955.

[6] F. Feng, J. Biggins, and M. Warner, “Evolving, complextopography from combining centers of Gaussian curvature,” PhysicalReview E, vol. 102, no. 1, p. 013003, 2020.